地理坐标的六边形编码(PHXIS)
计算机科学的方法并没有使用离散数学的模型来模拟一个地理信息系统(GIS)–而是建模出了一个我们真是存在的物理空间框架。实际上，大家已经接受了传统使用的球形的坐标或者凸的笛卡尔坐标系。因为这这些模型定义的是连续的点，而不是离散的一片一片，所以我们称这些模型为模拟地理参考模型（Analog Earth Reference Models）。
PYXIS系统的目的是为了定义并且优化一个离散的分块的物理空间模型，一个专注地理参考的实现。
我们把将要介绍的包含数字模型基本原则的模型叫做数字地球参考模型（Digital Earth Reference Model）。
1、离散的均匀切割（镶嵌或者贴在地球表面）。
2、每一个cell都有一个非浮点数的索引（index），这个索引包含父子cell的等级关系和地理坐标关系。其中地理坐标的空间为所有的实数。
3、这些索引之间有一系列代数、地理、图像、布尔关系。
4、需要一个策略把这些具有特定大小、合适的索引映射到每一个离散的cell中。
基本观点#2–ISEA3H可以用来对物理空间建立一个离散的均匀分布的模型
Icosahedral Snyder Equal Area Aperture 3 Hexagonal Grid (ISEA3H)是一中可以分割任意空间的方法。这个方法通过使用
reverse Lambert Equal Area Conformal technique（developed by John Snyder1, 1993）的三次平方根（正六边形镶嵌）方法把二十面体映射到物理空间中的。
结果是无限的不规则但体积相等的六棱柱从二十面体中心延伸。任何半径的球体都会穿过棱镜形成相等的面积cell。
在空间中进行这种操作，需要构造12个五边形。这写五边形二十面体六边截面积5/6的顶点上。在生成这个模型的过程中，为了减少12个五边形的影响，建议吧模型放在整个物理空间的中心（ Kevin Sahr2, et. al. 1998, 2003.）。
这个模型是时间相关的，既地球转动的时候，坐标系随着地球一起转动。
Snyder的方法是，在某一个限定区域下，通过角度（距离）的惩罚来减小每一个cell的畸变。这种和等级相关的畸变，在二十面体的表面中心会达到最大。这些最终的cell的边并不是严格的直线，任何沿着cell边离散的点在投影过程中，都会造成失真。
对于最优的网格设计准则，Jon Kimerling and Michael Goodchild 总结了如下的一些paper：
“Goodchild Criteria”
“Comparison of Kimerling and Goodchild”
John P. Snyder, defines a method for preserving cell equal area and minimizes distortion of cells through loss of equal angles (distance) asrecommended by Kimerling and Goodchild. “An Equal-Area Map Projection For Polyhedral Globes”, Cartographica, Vol. 29, No. 1, 1992
Selection of a square root three subdivision of icosahedron surface (forming multiple resolution hexagonal cells) to form the mesh on the Snyderpolyhedral. A recent summative paper by Sahr, White and Kimerling in 2003: Geodesic Discrete Global Grid System
基本观点#3– PHXIS为三次平方根分割提供索引
PHXIS的基本单元是PHXIS cell。要求每一个cell都遵循同一个index命名规则。
三次平方根分割后的每一个区域可以看做是一系列好的或者粗颗粒度镶嵌在无限大平面上的六边形PHXIS cell。在任何情况下，那些cell和以此cell分割出来的cell之间的关系可以通过index线性的表示成父cell和子cell的关系。
和三角形和方形不同的是，一个大的六边形无法等分成几个小的六边形，几个小的六边形也无法组合成为一个稍微大一点的六边形。但是，在三次平方根的分割中，有两种类型的六边形是可以做区分的。和父六边形共中心的六边形称为Centroid Child，和父六边形公用点的六边形称为Vertex Child。
Centroid Child的index命名规则就是在父index的右边加一个0。比如，一个010020的父六边形产生一个0100200的子六边形，一个030204的父六边形产生一个0302040的子六边形。
这样的一步还不能够完整的建立出六边形的索引。还有一些和父节点共用节点的 [Vertex Child]。六边形网格中，每一个顶点都被三个六边形共用，因此，当一个六边形有3个潜在的父六边形的时候，通过父子关系来表示，就不太合适了。PYXIS 构建index方法的核心贡献是，当一个六边形有三个潜在的父六边形，三个中只有一个，对于这个父六边形，这个子六边形是父六边形的Centroid Child。换句话说，只有由父六边形生成的子六边形，才能够生成Vertex Child， [Vertex Parent]。这是PHXIS独特的地方。
Vertex Child的编号自然的就包含了方向信息，从（1-6）。一个010020的父六边形生成留个子六边形0100201, 0100202, 0100203, 0100204, 0100205 和0100206。注意030204是一个Vertex Child（位数是4而不是0），因此它不会在产生Vertex Cell。
这样就可以生成一个高效的tire树。trie structure
这样每一个cell就包含一个独特的index，比如02003010040，就包含了很多数字方向的信息和大小的信息（三次根的模数），这样就通过三次平方根分解就隐射到了整个实数的空间中，Λ<-0200301004->Ω。
基本观点#4–PHXIS的索引的内在含义
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PYXIS TILE 是一个基本的隐含关系，这这个关系里面，对于一个给定的 PYXIS Index，所有的等级关系，以及在root下的PYXIS Depth都是确定的。
由于一个cell是永远不会和父六边形cell等大小的，所以只存在两种形式，a）一个由节点的父展示的在父空间区域内的，b）一个中心父六边形展示的在父区域内和区域外的。
这些不同的区域优雅的组合在一起，以填补空间。此外，落在一个级别的顶点父母内的一组细胞将落在下一个分辨率的质心母体内，然后在下一个更精细的分辨率上振荡回顶点父母，允许高斯分布内的误差平均。
PHXIS索引之间的代数关系
整个平面上确定一个单元与其邻居之间的关系具有实质价值。 可以使用以下方法通过PYXIS索引完成算术功能。
吉布森和卢卡斯（Gibson）和卢卡斯（Gibson and Lucas）定义了一个独特的索引和代数，它是一个类似但是基本的7个不是3的六边形网格，称为广义平衡三元。GBT仅以
原始分辨率提供六边形，并将伪六边形的分组聚合成形式。“使用广义平衡三元的空间数据处理”，Proceedings of the IEEE Computer Society Conference on Pattern
Recognition and Image Processing, 1982。
另一种在PYXIS上进行算数运算的方法，是把PHXIS六边形网格转换到直角笛卡尔正交坐标系，在笛卡尔坐标系中进行算数操作，再把笛卡尔坐标系转换到PHXIS网格坐标系中。
这种方法符合计算机上已经使用的过程，因此比PYXIS附加表方法更快。
矩形坐标系和六边形参考空间之间的转换
在数学上，PYXIS创新是一个基于平衡三元的离散数字系统。 在PYXIS中，在给定的精度下，实数集合被接近并由基于整数的索引系统表示。 在两个维度上，PYXIS链接到
分层紧密包装几何，这就形成在多分辨率六边形网格上的坐标系。
由于PYXIS晶格在每个分辨率下保持规则的六边形单元格，所以笛卡尔坐标系和PYXIS坐标之间的转换实际上是矩形和六边形坐标之间的转换。
Yong Du在PYXIS创新的代数表达中研究了笛卡尔坐标与PYXIS平铺索引之间的转换表达式。 本质上，PYXIS与传统的直角坐标之间的转换取决于空间中存在一个点，而这一点由不同的二维坐标系统表示。 当找到不同坐标系之间的关系时，两个系统可以相互转换。 一般来说，两个不同坐标系之间的关系是独一无二的，可以用不同的表达式来表示。 基于所找到的关系的转换算法也可以根据程序或过程的设计而不同。
基本观点#5 – 参考球体
前面的讨论已经参考了PYXIS瓦片的操作。为了提供地球参考，瓦片必须与二十面体相关，然后根据ISEA投影。为了解释这是如何实现的，我们认为从二十面体的12个顶点中的每个顶点连接5个三角形面，如图中的步骤所示。
通过将PYXIS平铺对齐在一个顶点上，在这五个面中的每个面上具有瓦片顶点;因为如图所示，砖的一/第六部分必须被移除以形成五边形帽。这可以通过简单地通过移除第一分辨率顶点子代的一个根而在算法上完成。
可以通过将索引“滚动”到等效间隙索引然后应用如上所述的表格数学来处理间隙上的加法。例如，如果从010203到030404相加，在02处存在间隙，则逆时针（从01到03）滚动，将010203更改为020304，并完成常规添加。如果从040106加到020103然后顺时针顺时针（04到02）将040106更改为030605，并完成常规的添加。
第三张照片显示，在这种布置中，从现在的五角形形状的水平线 - 红色，蓝色，黄色，然后是绿色的独立瓦片 - 的顶点生成了整个PYXIS瓦片，单个五边形单元格以二十面体顶点为中心。
通过在任意标签之间定义连接表来实现连接十二个五角形帽。此外，由于从每个顶点开始索引，所以在从组成三角形面的三个顶点生成的瓦片的二十面体面的中心处发生重叠 - 在图中这是红色瓦片。这通过为20个面中的每一个分配固定的折射率值并为每个这些六边形面砖定义基本方向来处理。结果是从任何起点使用均匀的索引。这20个面的固定索引被添加到连接表中的12个二十面体顶点。
